Cinco perspectivas sobre el PCA: desde la maximización de la varianza hasta la SVD

El artículo presenta el ACP desde cinco perspectivas, comenzando por la maximización de la varianza: la primera componente principal es la dirección que maximiza la varianza proyectada, que se encuentra como el vector propio de la matriz de covarianza con el mayor valor propio. Las componentes siguientes son ortogonales y corresponden a valores propios más bajos. La matriz de covarianza es simétrica y semidefinida positiva, lo que conduce a valores propios no negativos. El ACP descorrelaciona los datos porque las componentes principales tienen una matriz de covarianza diagonal. El blanqueamiento extiende el ACP al escalar las componentes a varianza unitaria, aunque puede amplificar el ruido. Otra perspectiva enmarca el ACP como un caso especial de la descomposición en valores singulares (SVD) de la matriz de datos centrada, relacionando los vectores singulares con los vectores propios de las matrices de covarianza. El artículo también aborda la descomposición espectral, los proyectores ortogonales y las transformaciones afines, todo lo cual respalda una visión geométrica unificada. La discusión se inspira en un curso de Skoltech sobre métodos geométricos de aprendizaje automático impartido por Alexander Bernstein.