خمس وجهات نظر حول تحليل المكونات الرئيسية: من تعظيم التباين إلى تحليل القيمة المفردة

يقدم المقال نظرية PCA من خمس وجهات نظر، بدءًا بتعظيم التباين: المكوّن الرئيسي الأول هو الاتجاه الذي يعظّم التباين المُسقط، ويُوجد كمتجه ذاتي لمصفوفة التغاير مع أكبر قيمة ذاتية. المكوّنات اللاحقة متعامدة وتقابل قيمًا ذاتية أقل. مصفوفة التغاير متماثلة وشبه موجبة التعريف، مما يؤدي إلى قيم ذاتية غير سالبة. تزيل PCA الارتباط بين البيانات لأن المكوّنات الرئيسية لها مصفوفة تغاير قطرية. توسع عملية التبييض PCA بتدرج المكوّنات إلى تباين وحدة، على الرغم من أنها قد تضخم الضوضاء. وجهة نظر أخرى تؤطر PCA كحالة خاصة من تحليل القيمة المفردة لمصفوفة البيانات المُمركزة، وتربط المتجهات المفردة بمتجهات ذاتية لمصفوفات التغاير. كما يتطرق المقال إلى التحلل الطيفي، والإسقاطات المتعامدة، والتحويلات الأفينية، وكلها تدعم رؤية هندسية موحدة. النقاش مستوحى من دورة في سكولتيك حول الطرائق الهندسية للتعلم الآلي من تأليف ألكسندر بيرنشتاين.